수학기초-수열

글 개요

이전에 작성했던 수학기초 포스팅에 이어 수열의 기초를 정리해보겠습니다.

 

글 본문

수열

수열이란:규칙성을 가지고 나열되어 있는 수를 수열이라고 합니다.예를들어, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 .... x

혹시 규칙이 보이시나요? 나열되어 있는 수들이 2배만큼 증가하고 있는걸 보실 수 있습니다. 여기서 2, 4, 6, 8.. 각 한하나가 항이라고합니다. 표현은 A1, A2, A3, A4, A5, A6, ...... An으로 표현할 수 있습니다. 여기서 n번 째항을 일반항이라고 합니다. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14를 일반항으로 표현해보자면 An = 2 * n + 1로 표현할 수 있습니다. 

 

항들의 합과 항의 관계

특정항은 특정항까지의 합에서 특정항 이전까지의 합과 같습니다. 

An = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 ........  An = Sn - S(n-1)

 

 

등차수열

등차수열은 연속된 두 항의 차이가 일정한 수열입니다. 이게 무슨말이냐면 예를들어 

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 각 숫자 하나하나가 항이라고 위에서 설명했습니다.

항들을 자세히 보면 항들의 차이가 2씩 나는게 보이시나요? 2가 바로 공차(d)입니다. 즉, 두 항의 차이가 2인 등차 수열입니다. 

 

등차 수열 규칙성을 이용해서 일반항을 구할 수 있습니다.

2, 4, 6, 7, 10, 12, 14, 16 --> A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 

A2 - A1 = 2, A3 - A2 = 2, A4 - A3 = 2, .....An - An-1 = 2 인걸 볼 수 있습니다. 그래서 

An - A1 = (n - 1) * 2 -----> An = A1 + (n - 1) * d 일반항이 구해지는걸 볼 수 있습니다.

 

등차중항

연속된 세 항에서 가운데 항을 구할 수 있습니다. 

 

An-1 + An+1 / 2 = An 

 

 

등차수열의 합

규칙성을 이용해서 모든 항들의 총합을 구할 수 있습니다. 

Sn = n*(A1 + An)/2 

첫 째 항과 마지막 항을 더해서 n을 곱하고 나누기 2를 해주면 전체 수열의 합을 구할 수 있습니다. 

 

 

 

등비 수열과 등비수열의 일반항

등비수열이란 연속된 두 항의 비가 일정한 수열입니다. 두 항의 비가 일정한 것을 공비r이라고 표현합니다. 

등비 수열의 일반항은 An = A1 * r ^(n -1)입니다. 

 

 

 

 

등비 중항

연속된 세 항에서 가운데 항을 구할 수 있습니다. 

An-1 * A+1 = An^2

 

 

등비수열의 합

규칙성을 이용해서 모든 항들의 총 합을 구할 수 있습니다. 

Sn = A1 * (1 - (r^n))/(1 - r) 등비수열의 합니다.

 

 

군수열

여러개의 항을 묶었을 때 규칙성을 가지는 수열입니다. 

1, 1,2, 1,2,3, 1,2,3,4, 1,2,3,4,5  항을 묶어서 규칙성을 찾습니다. 

(1), (1,2), (1,2,3), (1,2,3,4), (1,2,3,4,5)   항의 개수 가 군으로 표현됩니다 첫 번째 부터 1군 2군 3군 4군 5군으로 표현됩니다. 이렇게 항을 묶었을 때 규칙성이 보입니다. 이렇게 묶은걸 군이라고 합니다. 

항 만 보았을 때는 공차가 1인 등차 수열 인걸 볼 수 있습니다.